НМТ · математика

Довідник формул

Усе найважливіше для розв'язування задач НМТ — на одній сторінці. Збережіть у закладки або роздрукуйте.

🧮Алгебра

Формули скороченого множення

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})

Степені

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}

a^{m} : a^{n} = a^{m - n}

(a^{m})^{n} = a^{mn}

(ab)^{n} = a^{n} b^{n}

(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}

a^{0} = 1 (a \neq = 0)

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

a^{\frac{m}{n}} = n a^{m} (a > 0)

Корені

ab = a \cdot b

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}

a ≥ 0, b > 0

(a)^{2} = a (a \geq 0)

a^{2} = ∣ a ∣

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

n k a = nk a

Логарифми

Означення

lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b

a > 0, a ≠ 1, b > 0

lo g_{a} 1 = 0

lo g_{a} a = 1

a^{l o g_{a} b} = b

lo g_{a} (b c) = lo g_{a} b + lo g_{a} c

lo g_{a} \frac{b}{c} = lo g_{a} b - lo g_{a} c

lo g_{a} b^{p} = p lo g_{a} b

lo g_{a^{k}} b = \frac{1}{k} lo g_{a} b

Перехід до іншої основи

lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}

lo g_{a} b = \frac{1}{lo g _{b} a}

l g b = lo g_{10} b

ln b = lo g_{e} b

Квадратне рівняння ax² + bx + c = 0

Дискримінант

D = b^{2} - 4 a c

Корені (D ≥ 0)

x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}

Теорема Вієта

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}

x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}

Розклад на множники

a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

Вершина параболи

x_{0} = - \frac{b}{2 a}

y_{0} = - \frac{D}{4 a}

Прогресії

Арифметична

a_{n} = a_{1} + d (n - 1)

S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n

S_{n} = \frac{2 a _{1} + d ( n - 1 )}{2} \cdot n

a_{n} = \frac{a _{n - 1} + a _{n + 1}}{2}

Геометрична

b_{n} = b_{1} q^{n - 1}

S_{n} = \frac{b _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1} (q \neq = 1)

b_{n}^{2} = b_{n - 1} b_{n + 1}

S = \frac{b _{1}}{1 - q} (∣ q ∣ < 1)

S — сума нескінченно спадної прогресії

Відсотки

p % від числа a

\frac{a \cdot p}{100}

Число, p % якого дорівнюють b

\frac{b \cdot 100}{p}

Збільшення / зменшення на p %

a (1 + \frac{p}{100})

a (1 - \frac{p}{100})

Складні відсотки (n разів)

a (1 + \frac{p}{100})^{n}

Модуль

∣ a ∣ = {a, - a, a \geq 0 a < 0

∣ x ∣ < a ⟺ - a < x < a

∣ x ∣ > a ⟺ [x > a x < - a

📐Тригонометрія

Значення тригонометричних функцій

$α$	$0^{\circ}$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$	$18 0^{\circ}$
$рад$	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$π$
$sin α$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$	$1$	$0$
$cos α$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- 1$
$tg α$	$0$	$\frac{3}{3}$	$1$	$3$	—	$0$
$ctg α$	—	$3$	$1$	$\frac{3}{3}$	$0$	—

Основні тотожності

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

tg α = \frac{sin α}{cos α}

ctg α = \frac{cos α}{sin α}

tg α \cdot ctg α = 1

1 + tg^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α}

1 + ctg^{2} α = \frac{1}{sin ^{2} α}

Радіанна міра

π рад = 18 0^{\circ}

1^{\circ} = \frac{π}{180} рад

Подвійний кут і пониження степеня

sin 2 α = 2 sin α cos α

cos 2 α = cos^{2} α - sin^{2} α = 2 cos^{2} α - 1 = 1 - 2 sin^{2} α

tg 2 α = \frac{2 tg α}{1 - tg ^{2} α}

sin^{2} α = \frac{1 - cos 2 α}{2}

cos^{2} α = \frac{1 + cos 2 α}{2}

Формули додавання

sin (α \pm β) = sin α cos β \pm cos α sin β

cos (α \pm β) = cos α cos β \mp sin α sin β

tg (α \pm β) = \frac{tg α \pm tg β}{1 \mp tg α tg β}

sin α + sin β = 2 sin \frac{α + β}{2} cos \frac{α - β}{2}

cos α + cos β = 2 cos \frac{α + β}{2} cos \frac{α - β}{2}

Формули зведення (основні)

sin (9 0^{\circ} - α) = cos α

cos (9 0^{\circ} - α) = sin α

sin (9 0^{\circ} + α) = cos α

cos (9 0^{\circ} + α) = - sin α

sin (18 0^{\circ} - α) = sin α

cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α

sin (18 0^{\circ} + α) = - sin α

cos (18 0^{\circ} + α) = - cos α

sin (- α) = - sin α

cos (- α) = cos α

tg (- α) = - tg α

Для кутів 90° ± α і 270° ± α назва функції змінюється на кофункцію (sin ↔ cos, tg ↔ ctg); знак визначається за чвертю вихідного кута.

Найпростіші рівняння

sin x = a (∣ a ∣ \leq 1) : x = (- 1)^{n} arcsin a + π n, n \in Z

cos x = a (∣ a ∣ \leq 1) : x = \pm arccos a + 2 π n, n \in Z

tg x = a : x = arctg a + π n, n \in Z

sin x = 0 \Rightarrow x = π n

cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{π}{2} + π n

📈Похідна та інтеграл

Таблиця похідних

(C)^{'} = 0

(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}

(k x + b)^{'} = k

(x)^{'} = \frac{1}{2 x}

(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}

(sin x)^{'} = cos x

(cos x)^{'} = - sin x

(tg x)^{'} = \frac{1}{cos ^{2} x}

(ctg x)^{'} = - \frac{1}{sin ^{2} x}

(e^{x})^{'} = e^{x}

(a^{x})^{'} = a^{x} ln a

(ln x)^{'} = \frac{1}{x}

(lo g_{a} x)^{'} = \frac{1}{x ln a}

Правила диференціювання

(u \pm v)^{'} = u^{'} \pm v^{'}

(C u)^{'} = C u^{'}

(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

Складена функція

(f (g (x)))^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

Застосування похідної

Рівняння дотичної

y = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})

Геометричний зміст

k = tg α = f^{'} (x_{0})

Фізичний зміст

v (t) = s^{'} (t)

a (t) = v^{'} (t)

Якщо f′(x) > 0 на проміжку — функція зростає, якщо f′(x) < 0 — спадає. У точці екстремуму f′(x₀) = 0 і похідна змінює знак.

Первісні

\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C (n \neq = - 1)

\int \frac{d x}{x} = ln ∣ x ∣ + C

\int e^{x} d x = e^{x} + C

\int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{ln a} + C

\int sin x d x = - cos x + C

\int cos x d x = sin x + C

\int \frac{d x}{cos ^{2} x} = tg x + C

\int \frac{d x}{sin ^{2} x} = - ctg x + C

\int f (k x + b) d x = \frac{1}{k} F (k x + b) + C

Визначений інтеграл

Формула Ньютона — Лейбніца

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

Площа криволінійної трапеції

S = \int_{a}^{b} f (x) d x (f (x) \geq 0)

Площа між графіками

S = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x (f \geq g)

🎲Комбінаторика, ймовірність, статистика

Комбінаторика

Факторіал

n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n

0! = 1

Перестановки

P_{n} = n!

Розміщення

A_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!}

Комбінації

C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}

Правило добутку: якщо дію A можна виконати m способами, а потім дію B — n способами, то обидві дії — m·n способами. Правило суми: m + n способів, якщо виконується одна з дій.

Ймовірність

Класичне означення

P (A) = \frac{m}{n}

m — сприятливі наслідки, n — усі рівноможливі

0 \leq P (A) \leq 1

P (A ˉ) = 1 - P (A)

Несумісні події

P (A + B) = P (A) + P (B)

Незалежні події

P (A B) = P (A) \cdot P (B)

Статистика

Середнє значення

x ˉ = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n}

Мода

найчастіше значення вибірки

Медіана

середнє значення впорядкованого ряду

Розмах

R = x_{m a x} - x_{m i n}

Для парної кількості даних медіана — середнє арифметичне двох центральних значень.

🔺Планіметрія

Трикутник

Сума кутів

α + β + γ = 18 0^{\circ}

Площа

S = \frac{1}{2} a h_{a}

S = \frac{1}{2} ab sin γ

Формула Герона

S = p (p - a) (p - b) (p - c), p = \frac{a + b + c}{2}

Через радіуси

S = p r

S = \frac{ab c}{4 R}

Теорема синусів

\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ} = 2 R

Теорема косинусів

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos γ

Медіана

m_{c} = \frac{1}{2} 2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2}

Бісектриса ділить сторону

\frac{A L}{L C} = \frac{A B}{B C}

Середня лінія

m = \frac{1}{2} a

Медіани перетинаються в одній точці й діляться нею у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини. Центр описаного кола — точка перетину серединних перпендикулярів, вписаного — бісектрис.

Прямокутний трикутник

Теорема Піфагора

c^{2} = a^{2} + b^{2}

sin α = \frac{a}{c}

cos α = \frac{b}{c}

tg α = \frac{a}{b}

S = \frac{1}{2} ab

R = \frac{c}{2}

r = \frac{a + b - c}{2}

Висота до гіпотенузи

h = \frac{ab}{c}

h^{2} = a_{c} b_{c}

Рівносторонній трикутник

S = \frac{a ^{2} 3}{4}

h = \frac{a 3}{2}

R = \frac{a 3}{3}

r = \frac{a 3}{6}

Чотирикутники

Паралелограм

S = a h_{a}

S = ab sin α

d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = 2 (a^{2} + b^{2})

Прямокутник

S = ab

d = a^{2} + b^{2}

Ромб

S = ah

S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}

S = a^{2} sin α

Квадрат

S = a^{2}

d = a 2

S = \frac{d ^{2}}{2}

Трапеція

S = \frac{a + b}{2} \cdot h

m = \frac{a + b}{2}

Довільний опуклий

S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ

Навколо чотирикутника можна описати коло, якщо сума протилежних кутів 180°; у чотирикутник можна вписати коло, якщо суми протилежних сторін рівні: a + c = b + d.

Коло і круг

C = 2 π R

S = π R^{2}

Довжина дуги (n°)

l = \frac{π R n}{180}

Площа сектора (n°)

S = \frac{π R ^{2} n}{360}

S = \frac{1}{2} l R

Вписаний кут дорівнює половині центрального кута, що спирається на ту саму дугу. Кут, що спирається на діаметр, — прямий. Дотична перпендикулярна до радіуса в точці дотику.

Правильні многокутники

Сума кутів n-кутника

18 0^{\circ} (n - 2)

Кут правильного n-кутника

\frac{18 0 ^{\circ} ( n - 2 )}{n}

a_{n} = 2 R sin \frac{18 0 ^{\circ}}{n}

r = R cos \frac{18 0 ^{\circ}}{n}

S = \frac{1}{2} P r

Правильний шестикутник

a = R

S = \frac{3 3}{2} a^{2}

🧊Стереометрія

Призма

V = S_{осн} \cdot H

S_{б} = P_{осн} \cdot H (пряма)

S_{п} = S_{б} + 2 S_{осн}

Прямокутний паралелепіпед

V = ab c

d^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}

S_{п} = 2 (ab + b c + a c)

Куб

V = a^{3}

d = a 3

S_{п} = 6 a^{2}

Піраміда

V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H

S_{п} = S_{б} + S_{осн}

Правильна піраміда

S_{б} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l

l — апофема

Циліндр

V = π R^{2} H

S_{б} = 2 π R H

S_{п} = 2 π R (R + H)

Конус

V = \frac{1}{3} π R^{2} H

S_{б} = π R l

S_{п} = π R (R + l)

l^{2} = R^{2} + H^{2}

l — твірна

Зрізаний конус

V = \frac{1}{3} π H (R^{2} + R r + r^{2})

Куля і сфера

V = \frac{4}{3} π R^{3}

S = 4 π R^{2}

🧭Координати і вектори

Координати

Відстань між точками

d = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} + (z_{2} - z_{1})^{2}

Середина відрізка

(\frac{x _{1} + x _{2}}{2}; \frac{y _{1} + y _{2}}{2}; \frac{z _{1} + z _{2}}{2})

Рівняння кола

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}

Рівняння сфери

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}

Пряма

y = k x + b

k = tg α

Паралельні / перпендикулярні

k_{1} = k_{2}

k_{1} k_{2} = - 1

Вектори

Координати вектора

A B = (x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1}; z_{2} - z_{1})

Довжина

∣ a ∣ = x^{2} + y^{2} + z^{2}

Сума, множення на число

a + b = (x_{1} + x_{2}; y_{1} + y_{2}; z_{1} + z_{2})

k a = (k x; k y; k z)

Скалярний добуток

a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}

a \cdot b = ∣ a ∣∣ b ∣ cos φ

Кут між векторами

cos φ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}

Перпендикулярність / колінеарність

a ⊥ b ⟺ a \cdot b = 0

\frac{x _{1}}{x _{2}} = \frac{y _{1}}{y _{2}} = \frac{z _{1}}{z _{2}}